0,999… = 1?

Internetissä kiertää matemaattinen arvoitus tai väite, jonka mukaan 0,999… on yhtä kuin 1, mikä tietysti äkkiseltään tuntuu väärältä.

Väite kuuluu seuraavasti.

Olkoon

$$
\begin{aligned}
x &= 0,999…
\end{aligned}
$$

Kertokaamme molemmat puolet luvulla \(10\).

$$
\begin{aligned}
10x &= 10\cdot0,999… \\
10x &= 9,999… \\
\end{aligned}
$$

Vähentäkäämme \(x\) kummaltakin puolelta.

$$
\begin{aligned}
10x-x&= 9,999…- 0,999… \\
9x &= 9 \\
x &= 1
\end{aligned}
$$

Miten voi olla mahdollista, että \(0,999… = 1\)? Itse asiassa tulos on oikein, koska \(0,999…\) on toistuva desimaaliluku¹, joka voidaan esittää murtolukuna, joka sattuu olemaan \(1\).

Havainnollistakaamme toistuvan desimaaliluvun esittämistä murtolukuna toisen desimaaliluvun avulla.

$$
\begin{aligned}
x &= 0,444… \\
10x &= 10\cdot0,444… \\
10x &= 4,444… \\
10x-x&= 4,444…- 0,444… \\
9x &= 4 \\
x &= \frac{4}{9}
\end{aligned}
$$

Voimme siis esittää toistuvan desimaaliluvun murtolukna, jossa nimittäjänä toimii \(9\). Palaten takaisin ensimmäiseen esimerkkiin tämä tarkoittaa, että

$$
\begin{aligned}
x &= 0,999… \\
x &= \frac{9}{9} \\
x &= 1
\end{aligned}
$$

Itse asiassa tuo ominaisuus, että \(9\) toimii nimittäjänä, on sovellettavissa mielivaltaisen pitkiin toistuviin desimaalisarjoihin sillä ehdolla, että yhdeksikköjä on yhtä monta nimittäjässä. Ennen tämän havainnollistamista ottakaamme käyttöön merkintä, jonka avulla osoitetaan tuollainen toistuva desimaalisarja. Matematiikassa yleisesti käytetään ylleviivausta tähän, esim. \(0,\overline{123} = 0,123123123…\).

Esimerkiksi

$$
\begin{aligned}
x &= 0,\overline{123} \\
x &= \frac{123}{999}
\end{aligned}
$$

---

1. Luku, jonka desimaaliosa toistaa tiettyä numerosarjaa. ↩︎