Pähkinä: suorakulmaisen kolmion pinta-ala
Olkoon ABC suorakulmainen kolmio siten, että hypotenuusan AB pituus on 10 ja tähän nähden kohtisuora kulmasta C lähtevän janan pituus on 6. Merkittäköön kirjaimella D pistettä, jossa tämä jana leikkaa hypotenuusan AB. Laske kolmion ABC pinta-ala.
Ratkaisu
Koska jana CD on hypotenuusaan nähden kohtisuora, on kolmio ala suoraan laskettavissa ihan peruskaavan avulla.
- kannan AB pituus on 10
- kolmion korkeus CD on 6
Tuosta saadaan kolmion alaksi (10*6)/2=30. Tuo korkeus 6 tosin näyttää kovin isolta luvulta. Tarkistetaanpa, onko tällainen kolmio edes mahdollinen.
Sovelletaan Pythagoraan lausetta a²-b²-c²=0 eli suorakulmaisen kolmion hypotenuusan neliö on yhtä suuri kuin kateettien neliöiden summa.
Kolmion ABC hypotenuusan AB pituus on 10, josta pisteiden B ja D välistä osuutta merkittäköön kirjaimella x. Merkittäköön kateetin AC pituutta kirjaimella y ja kateetin BC kirjaimella z. Tällöin
Pythagoraan lause kolmiolle ABC on
10²-y²-z²=0 (1)
kolmiolle ACD
y²-(10-x)²-6²=0 (2)
ja kolmiolle BCD
z²-x²-6²=0 (3)
Ratkaistaan yhtälö (3) arvon z² suhteen
z²=x²+36
ja sijoitetaan tulos yhtälöön (1), joka ratkaistaan arvon y² suhteen.
10²−y²−(x²+36)=0
<=> 100−y²−x²−36=0
<=> y²=−x²+64
Ratkaisu sijoitetaan yhtälöön (2)
(-x²+64)-(10-x)²-36=0
<=> -x²+64-(100-20x+x²)-36=0
<=> -x²+28-100+20x-x²=0
<=> -2x²+20x-72=0
Kun tuo toisen asteen yhtälö ratkaistaan, käy ilmi, ettei sillä ole reaalijuuria vaan imaginaarijuuret:
x=5±i √11
Mutta x on osa kolmion hypotenuusaa, joten x ei voi olla imaginaariluku. Toisin sanoen tuollaista suorakulmaista kolmiota ei voi olla olemassa, joten kolmiolla ABC ei ole pinta-alaa.
Ei kommentteja